近年来，复合材料加筋结构被广泛应用于现代飞行器结构设计中，它可以在提高结构性能的基础上大幅度减轻结构重量。加筋结构的主要破坏形式之一是屈曲失稳，通常复合材料加筋板在局部失稳后仍具有较强的后屈曲承载能力。为了进一步减轻结构重量，充分利用复合材料加筋板的后屈曲承载能力，针对复合材料加筋板的后屈曲行为展开优化设计方法的研究具有重要意义。目前，对复合材料板壳结构稳定性的研究大多集中在轴压载荷情况下[1-4]，对复合材料加筋板在面内剪切条件下的后屈曲研究很少有见，刘从玉等[5]对复合材料单向加筋板进行了在剪切及压剪载荷条件下的后屈曲分析，但缺少实验对比无法验证结果的可靠性；AMBUR等[6]对一块复合材料双向加筋板进行了剪切条件下的实验和仿真分析，但忽略了脱胶的失效形式。UPMALLELA等[7]对复合材料单向加筋板在剪切条件下进行了线性屈曲分析和参数化计算，但并没有做进一步的后屈曲的研究；ARBELO[8]等，对复合材料单向加筋板进行了剪切载荷作用下的后屈曲的实验和计算研究，基于损伤演化模型同时考虑了大变形与材料非线性效应，模拟了加筋板的失效过程，其计算结果与实验结果吻合良好。在剪切后屈曲的有限元仿真计算中，边界条件的施加是一个难点，作者在仿真过程中为所设计的实验设备一同建立了有限元模型用于模拟真实边界条件。复合材料加筋板具有很强的可设计性，部分学者对轴压载荷作用下的复合材料加筋板进行了相关研究，其中很多在优化过程中都验证了遗传算法的优越性。Wang等[9]使用改进的遗传算法对复合材料T型加筋板的线性屈曲承载能力进行优化，得到了板的铺层顺序、厚度以及加筋腹板的高度。FALZON等[10]通过考虑子模型在后屈曲分析中失效单元的数量，使用遗传算法，优化得到了最优的铺层顺序与铺层厚度。对复合材料加筋板的后屈曲性能进行优化设计，主要有两大难点：1.在优化过程中针对不同设计变量产生的新构型均需要进行后屈曲分析，这就带来了高额的计算成本；2.同时包含离散和连续的设计变量及非线性约束条件，很难在一个优化模型中得以实现。这两大难点使得一般的优化方法计算成本非常昂贵，无法适应工程应用的需求。本文采用分级优化策略，对受面内剪切载荷的双向加筋板进行屈曲和后屈曲优化设计。分级优化策略是由SOBIESZCZANSKI-SOBIESK于1987年提出的，可以用于间接解决复合材料加筋板的后屈曲性优化设计连续设计变量与离散设计变量同时存在的问题。LIU[11]在优化复合材料机翼结构的过程使用了分级优化模型，在第二级（局部）优化中采用板模型建立响应面优化板的屈曲承载能力，而在第一级（全局）优化中，则根据第二级优化的结果对整个机翼进行全局的优化。HANSEN和HORST[12]则使用的是尺寸优化与拓扑优化两级优化策略。BACARREZA[13]采用初始设计和细节设计两级优化策略对复合材料单向加筋板进行了轴压载荷下的优化设计，并且在每级优化设计后均加入了可靠性优化分析。本文将加筋板后屈曲优化问题分解成两级优化问题，两级分别优化结构几何尺寸的连续变量和复合材料铺层顺序的离散设计变量。采用全局近似的响应面方法（RSM，ResponseSurfaceMethod）解决加筋板后屈曲优化过程中后屈曲响应计算所带来的高额的计算成本的问题。RSM即通过少数样本点的计算近似得到设计变量关于优化响应的全局显式方程。部分学者已验证了这种全局近似方法在处理高度非线性响应的结构优化中的可行性以及其在计算成本上的优越性[14]。使用该方法进行复合材料加筋板后屈曲优化设计的文章国内尚未见发表。
1优化策略
采用结合RSM和遗传算法的两级优化策略，对复合材料加筋板进行非线性结构响应约束条件下的优化设计。
1.1一级优化分级优化策略的第一级，以结构的几何尺寸为设计变量，以线性屈曲及后屈曲承载能力为优化响应，对结构进行优化设计。由于复合材料加筋板后屈曲特性的复杂性，这里直接给出一级优化的普遍优化模型是不恰当的，优化模型中具体的设计变量，优化约束与目标函数的选择应该根据具体的算例而定，但考虑复合材料加筋板后屈曲特性的优化设计一般希望达到以下优化效果：首先，加筋板在发生屈曲之后具有比较好后屈曲承载能力即最大化结构的极限载荷；其次，加筋板不应发生过早的局部屈曲，即结构的一阶屈曲特征值不能过低，当使用控制位移的方式加载时，要求结构屈曲位移bS与结构极限载荷位移cS的关系如式（1）[15]所示。(1)最后，在保证结构屈曲承载能力的基础上尽可能地降低结构质量。一级优化包括三个关键步骤。1)分析模型建立及灵敏度分析建立初始设计屈曲及后屈曲分析模型，通过实验验证分析模型的准确性，这是决定优化效果的最基础和关键的步骤。确定分析模型准确性之后需要对结构进行参数化建模，并对模型进行灵敏度分析，通过灵敏度分析观察不同设计变量对于结构响应的影响，可以为优化过程中样本点的选取提供依据，同时可以用于指导优化设计以及验证优化设计结构的合理性。2)全局近似函数的建立采用RSM在保证精度的条件下以最少的样本点建立几何尺寸关于结构响应的全局近似函数，这是整个优化过程中计算成本最大的步骤，但是和在优化过程中直接调用有限元软件计算结构响应相比可以大大降低计算成本。优化设计的准确性依赖于响应面的精度，而响应面的精度依赖于响应面方法的选择及样本点的选取。本文使用多项式响应面模型，基于最小二乘法进行拟合。样本点的选取方法应保证样本点的高度随机性。拉丁超立方体抽样（LatinHypercubeSample）由MCKAY在1979年提出，它被设计成通过较少迭代次数的抽样，准确地重建输入分布。这里通过MATLABStatistics工具箱生成拉丁超立方体样本点，调用参数化建模程序计算结构响应。一般样本点的数量越多拟合精度越好，但出于计算成本的考虑，用适当数量的样本点拟合出满足一定精度要求的响应面是目前大多数学者使用的方法[11,16,17]。这里采用由CARRERE[16]提出的逐渐迭代方法确定样本点数量。首先使用3(n1)个样本点进行拟合，其中n为问题的维度，这里是设计变量的个数。基于这些样本点进行响应面拟合，根据响应面的拟合残差判断是否增加样本点，直到响应面的精度满足要求。全局响应面拟合结果y'和有限元计算结果y之间的残差r可以用下式（2）表示。(2)对上式求平均值，可以得到每次迭代拟合的残差值，增加样本点前后残差值收敛时即可认为响应面满足精度要求。3)优化计算使用MATLAB优化工具箱对全局近似模型进行优化计算。同时使用了基于梯度的优化算法及遗传算法计算优化模型。由于优化响应基于RSM建立而RSM是针对计算成本高的结构模型提出的一种近似计算方法存在不可避免的误差[18]，需要通过灵敏度分析对优化结果进行调整。
1.2二级优化分级优化策略的第二级，保持结构几何尺寸为第一级优化结果中的尺寸，使用遗传算法对复合材料加筋板进行以铺层顺序为优化设计变量的细节设计。由于设计变量的离散性，无法再使用RSM方法构造结构响应关于设计变量的全局近似函数，只能通过调用分析模型计算结构响应，出于计算成本的考虑，二级优化中只考虑结构的线性屈曲性能。在一般的复合材料铺层顺序优化中[19-21]铺层顺序的优化过程实际就是不同角度铺层的数量优化过程。而这里的铺层顺序优化为分级优化的第二级，按照常用的铺层顺序优化方法会导致板的截面尺寸发生变化，影响两级优化之间的迭代性，这里基于解决旅行商问题的遗传算法对复合材料铺层顺序进行优化。旅行商问题（TSP，TravelingSalesmanPro-blem）是典型的优化组合问题[22]。本文将每个铺层视为一个城市，而铺层顺序的优化就相当于城市访问顺序的优化。通过对解决旅行商问题的遗传算法程序进行修改，优化铺层顺序。与传统用于优化铺层顺序的遗传算法相比，改进算法最大的特点在于编码方法的不同。在旅行商问题中，访问的最后一个城市一定要与第一个城市相同，而在铺层顺序优化的编码中并没有这个要求。例如，若某复合材料铺层共由10层铺层组成[45/-45/0/0/90/90/0/0/45/-45]，给该10层分别编序号为1-10，得到待排序的铺层列表W，对该铺层顺序按照旅行商问题启发的方法进行编码，其个体的编码Coding，解码序列Sequence及对应新铺层如下所示。在旅行商问题中，遗传算法的适值为两个城市之间的距离，而在铺层顺序优化中，适值为结构响应这里即为结构的线性屈曲载荷，每获得一个个体的编码，解码为复合材料铺层，使用新铺层修改参数化建模脚本并调用有限元程序进行计算，得到不同个体也即铺层顺序所对应的适值。交叉与变异过程按照典型遗传算法方法处理。
1.3两级迭代优化由于两级优化模型的不同并且二级优化中并未考虑结构的后屈曲性能，由此需要对二级优化后的构型进行后屈曲分析，与一级优化后的结果进行比较，根据两级优化后结构响应的差值判断是否需要迭代优化。当两级优化后结构各响应平均差值在10%左右，认为结构已为最优构型，无需进一步迭代优化。整个优化策略可以整理为图1所示的优化流程图。
2剪切后屈曲分析模型
采用ABAQUS有限元分析软件建立复合材料加筋板后屈曲分析模型，使用Riks弧长法对加筋板的后屈曲行为进行数值模拟。采用一个四边固定框用于对板施加面内的剪切载荷，材料为钢，所有固定框的面外位移均约束为0，四边相连的角点采用Pin约束，即重合角点的三个平动自由度分别相等。在板的对角分别施加简支约束和沿对角线方向的位移，如图2[6]所示。后屈曲分析中考虑复合材料铺层中可能发生的五种失效形式：纤维拉伸破坏，纤维压缩破坏，基体拉伸破坏，基体压缩破坏，纤维-基体剪切失效。采用二维Hashin损伤判据判断失效的发生。该判据已成功应用到复合材料结构的强度预测上[4,6,22]。判断失效发生之后，通过对相应方向刚度的折减实现损伤演化过程。材料的刚度线性依赖于v1F-v3F三个变量，分别代表纤维失效、基体失效和纤维-基体剪切失效行为的发生，采用的是ChangandLesard’s刚度折损模型，具体折减过程如表1所示。为了有效模拟筋条和壁板之间的连接界面，引入胶层单元。胶层单元假设为各向同性材料，只考虑其z方向的正应力33和xz、yz平面内的剪应力13、23与相对应方向的应变33、13、23之间的本构关系如式(3)。界面单元的材料属性如表1所示。采用二次应力准则Quads来判定失效的发生如式（4）所示。其中：0(,,)itinst分别为3个方向上的强度，(,,)itinst分别为3个方向上的作用力。失效发生后，即判定失效准则表达式1ocF后使用刚度折损方式模拟损伤演化，令界面单元三个方向刚度均折损为原刚度的0.01[23]，见表1。
3优化算例
3.1初始设计AMBUR等[6]对一块复合材料双向加筋板进行了剪切条件下的后屈曲实验，本文取该复合材料双向加筋板作为优化设计的初始设计，基本尺寸如图3（a）所示。蒙皮和加筋条使用的是AS4/3501-6石墨环氧树脂材料，铺层顺序如图3（b）所示，0o，±45o，90o铺层的厚度分别为0.314mm，0.150mm，0.085mm。单层复合材料刚度及强度属性如表2所示。作为初始设计构型的复合材料加筋板在面内剪切载荷作用下的一阶屈曲模态如图4所示。屈曲失稳发生很早，主要表现为壁板中间的局部失稳。剪切后屈曲的载荷位移曲线如图5所示，与文献[6]中给出的实验及分析结果对比如表3所示，对比结果表明吻合良好,由于考虑了胶层的脱胶失效，极限载荷所对应的加载位移比文献[6]给出的结果更接近实验结果。在局部失稳发生之后，结构在后屈曲阶段仍能继续承受载荷，最终结构的主要失效方式是界面单元失效脱胶。通过该初始构型的屈曲后屈曲分析可知，该构型的主要问题在于局部屈曲过早发生，而后屈曲承载能力相比于屈曲承载能力有很大提升，因此对于该复合材料加筋板的优化应该在保证后屈曲承载能力不变的情况下，提高结构的一阶屈曲特征值，达到或者接近极限载荷所对应的位移的1/4-1/2，避免局部屈曲的过早发生。针对该初始设计选取加筋腹板高度H，加筋缘条宽度L，最外侧缘条距离板边的距离M以及单向加筋数目N为一级优化中的待优化设计变量。
3.2灵敏度分析对设计变量进行灵敏度分析，可以为设计变量的取值范围提供一定的参考依据，同时还可用于调整优化结果。对复合材料加筋板的有限元模型进行参数化建模。各设计变量的初始参数按初始设计中模型选取：H=50mm，L=25mm，M=40mm，N=2。选取腹板高度H的变化范围由35mm到70mm，缘条宽度L的变化范围由10mm到45mm，M的变化范围由20mm到100mm，而N的变化范围则由1到5之间。每次分析计算加筋板的线性屈曲特征值，破坏时加载端位移以及结构极限载荷，结构的质量响应W按照式（5）。
3.3一级优化针对该加筋板的后屈曲行为第一级优化模型见表5，其中：0bS、0cS、0cL分别为初始设计结构的屈曲位移、极限载荷位移和极限载荷。3.3.1响应面模型的建立使用RSM建立结构后屈曲响应的全局近似函数，作为优化设计中的约束方程使用。取结构屈曲位移bS及后屈曲极限载荷cL的全局近似多项式模型如下：经试验，由于本文所建立的后屈曲结构响应具有高度非线性，按照3(n1)个初始样本点拟合精度不佳，因此将迭代过程做如下调整，初始选取30个样本点，根据拟合残差依次添加前一次样本个数的80%直到拟合残差收敛为止。图8为样本点拟合残差图，经过两次增加样本点，前后两次迭代残差平均值相差在1%以内，继续增加样本点无法再提高响应面精度。最终结构屈曲特征值的响应面函数1g的残差平均值9.41%，而结构极限载荷的响应面函数2g的残差平均值在2.97%，满足精度要求。响应面函数系数见表6。3.3.2一级优化结果使用拟合的结构线性屈曲特征值响应面函数与结构极限载荷的响应面函数2g进行优化计算，选择MATLAB优化工具箱中带约束的非线性优化函数“fmincon”以及遗传算法函数“ga”进行优化。且线性屈曲载荷最大，对应的设计变量的最优解为[4mm;14.837mm;20mm;74.361mm]，即当单向加4根筋条，加筋缘条宽度L为14.837mm，加筋腹板高度H为20mm，外侧筋条和板边间距M为74.361mm时，结构有最大的线性屈曲载荷为1.888mm相比于0.234mm提高了8倍，结构质量为2.065kg在2.8%的裕度下满足小于初始质量2.126kg的约束，结构极限载荷为215.586KN在19.1%的裕度下满足大于90%的初始极限载荷的约束。使用有限元软件对优化得到的最优设计变量进行验算，有限元计算结果与响应面预测结果误差均在5%的范围内，证明了优化结果的可信度。结构质量的约束已经没有调节的空间，但是结构极限载荷仍然有可以调节的空间，即仍然可以尝试通过牺牲结构极限载荷的情况下进一步提升结构线性屈曲载荷，但质量不能再进一步增加。根据灵敏度分析结果，满足这一条件的可调参数只有筋条外端距离板边间距M，保持其他参数不变，对参数M再次进行灵敏度分析，讨论M对于结构线性屈曲载荷的影响，分析结果如图9所示。当M由74.361mm调整为45mm，结构的线性屈曲载荷最大，不同于其他结构参数下小范围发生过早的局部屈曲，此时结构一阶屈曲对应着结构中大面积屈曲的发生。且同时考虑了复合材料铺层的工艺性要求，优化结果表明优化效果、收敛性很好。
作者：王燕 李书 许秋怡 马骏 单位：北京航空航天大学 航空科学与工程学院 北京航空航天大学 大型飞机高级技术人才培训班