高等数学是一门理工类大学数学基础理论课程，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，是构建大学生数学思想和培养数学素质的重要课程。高度的抽象和统一，体现在深入地揭示数学内在本质规律中；严密的逻辑性体现在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用抽象的思维、逻辑的规则，遵循思维的规律；广泛的应用性体现在其蕴含的数学思想与方法被广泛用来解决实际的物理和工程问题。因此，高等数学对于培养学生的数学思想和数学素质极为重要。然而，无论是传统高等数学教学，还是现代多媒体与传统教学结合教学模式，学生在学习过程中基本都是被动接受外界刺激，缺少主动思考、主动参与，没有真正参与到发现、分析、解决问题的过程中去，本质上仍是“注入式”教学。究其原因，在于高等数学教学中教师的“释惑”和学生的“受惑”之间没有建立一个“共鸣点”，没有引导学生找到学习的“兴奋点”，更谈不上数学素质的提升。从而导致很多理工学生在学习高等数学的过程中极易产生畏难情绪，甚至敬而远之，更谈不上灵活应用所学数学知识解决实际问题，远远偏离了高等数学教育的预期。为了改变这种状况，高等数学届学者专家们对如何在教学中应用问题驱动式教学模式进行了有益探索，如“创设问题情境”式、“两级问题驱动链”、“问题设计和解决”等对提高高等数学的教学效果，有效地调动学生的学习积极性及提高创新能力有极大的益处。但是这些都很少根据理工学生实际进行探索，所以本文结合理工类学生实际，从理工类高等数学的教学出发，在分析问题驱动式理论基础上，就如何利用问题驱动式教学模式进行积极探索。
一、问题驱动式教学理论渊源
问题是数学的心脏，把问题作为教学的驱动力，以学生为主体，以问题为线索，通过学生自主学习与相互讨论，最终形成对知识的理解和接受，这就是驱动式数学教学模式。这种方法以学生为学习的主体和学习活动的中心，是一种使学生“学会学习”的教学活动，强调以问题为学习的起点，而不像传统教学那样灌输许多纷繁复杂的理论知识，让学生感到“找不到北”。这是数学教学的一个重要模式，其渊源可以追溯到１９世纪后期美国实用主义教育家杜威提出的“情境、问题、假设、推理和验证”的教学模式也充分强调了“从做中学”这种通过解决问题进行学习的思想［１］；２０世纪５０年代美国著名心理学家和教育学家杰罗姆提出了通过学生自主探索，主动获取知识的“发现教学法”［２］。１９６０年，Ｂａｒｒｏｗｓ和Ｔａｍｂｌｙｎ在医学教育领域提出了问题驱动式学习（Ｐｒｏｂｌｅｍ－ＢａｓｅｄＬｅａｒｎｉｎｇ，ＰＢＬ）教学法，以克服刚毕业的医科学生虽有大量专业知识却缺乏临床应用能力的缺点［３－４］。后来，以ＰＢＬ为主的教育策略，逐步推广到了商学、教育学等学科的教学活动中，对于培养学生自主创新和解决问题的能力具有明显效果。问题驱动式教学不像传统方法那样先学习理论知识再解决实际问题，而是一种以学生为主体、以专业问题为核心线索贯穿学习内容，使学生在分析讨论问题和寻求解决方案的过程中达到对知识的学习的一种教学方法。它能在提高学生学习主动性的同时，提高学生在教学过程中的参与程度，激起学生的求知欲，活跃其思维。主要表现为教师提出问题、学生分析问题、讨论解决问题、结果评价等形式。
二、问题驱动式数学教学模式及其教学原则
（一）问题驱动式数学教学模式。问题是数学发展的原始驱动力，数学学习也要模拟和发展数学研究的过程。数学研究的一般过程是：问题→猜测、抽象→形式逻辑推演。而数学教学的一般过程是：实际情景（问题引入）→概念定义（归纳、抽象）→定理证明（形式逻辑推演）→例题演算。所以，数学研究与数学教学是既有联系又有区别的两个过程。著名的数学教育学的奠基人、荷兰数学家Ｈ．Ｆｒｅｕｄｅｎｔｈａｌ曾说：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决之后，相应的发展成为一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽。”（ＦｒｅｕｄｅｎｔｈａｌＨａｎｓ．１９８３．ＤｉｄａｃｔｉｃａｌＰｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｒｅｉｄｅｌ．Ｐ．９）的确，目前的数学教学大多都只是在呈现数学“冰冷的美丽”这一面，很少将它恢复成“火热的思考”［５］。因此，在实际的数学教学过程中，无论是高等数学中微积分理论还是无穷级数理论，都是大部分学生眼中“冰冷的美丽”。但事实上，高等数学所涉及的许多概念、定理的发现都不是“冰冷的”，却是“火热的思考”，是受问题驱动而展开的猜想、假设、推理和验证。问题驱动式数学教学就是不局限于传统的形式逻辑推演，而是将教学过程转化为学生容易接受的形式，即通过学生对系列问题进行自主分析和讨论甚至争论的形式逐步把问题的本质揭露出来，学生在解决问题的过程中逐渐领略到隐藏在形式背后的原理、脉络、思想和方法，尽可能地呈现或部分呈现、还原数学研究的过程，将“冰冷的美丽”再次还原成为“火热的思考”。特别是理工类学生，由于数学思想的构建和数学素质的培养对其后续专业领域的学习研究尤其重要，因此在高等数学教学中更应以问题为驱动，逐渐学会学习。
（二）问题驱动式数学教学原则。问题驱动式数学教学的核心和关键是问题的设计，但设计好的问题并不容易，尤其是如何提出学生容易接受的、感兴趣的且利于问题逐步解决的好问题是比较费劲的事情。根据高等数学的内容特点以及教学目的的不同，问题的设计原则也应有所区别，但总体上应遵循以下几个主要的设计原则：１．形象与抽象相结合的原则。任何数学问题都有其对应的物质原型（即对问题的形象化刻画与描述），所以设计问题都要注意与其本身对应的物质原型联系，追本溯源。比如对贯穿微分学始终的极限理论而言，早在古代就已经有比较清楚的论述。比如中国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。再比如积分学中定积分、重积分、第一类线积分和面积分，虽然它们各自的概念表述形式相去甚远、差异性很大，但本质上都和物理中求不均匀密度的构件质量相关，因此借助具体物理问题的逐步解决，不仅可以更好地理解每个积分的概念，还可以弄清它们之间的联系与区别。２．联想与类比相结合的原则。逻辑是用来证明的，而联想是用来发现的，通过联想类比可以发现新旧知识之间的区别与联系。３．点线面相结合的原则。高等数学的知识点很多也比较零散，犹如一颗颗散落的珍珠，问题驱动式教学不仅可以由学生自己通过系列问题的解决逐个找到并认识这些珍珠，同时也可以随着系列问题的不断解决，获得珍珠串成的完美项链，从而掌握知识的整体性结构。比如，在学完一元微积分第一章后可以引导学生考虑：函数、极限、连续之间的本质联系（整理总结出如图１的结构图，形成知识网络），在多元积分学学习之后，可以引导学生考虑定积分、重积分、线面积分之间的联系。再通过引导学生整理总结教学中的知识点并查阅相关资料，形成一条脉络清晰的结构图，在这一过程中学生充分认识到积分及其发展，并形成相应的知识体系，为后续课程的学习奠定牢固的基础。
三、问题驱动式教学在理工类高等数学教学中的初步实践
（一）实践
１：一元函数导数的形象化教学设计在一元微分学中的重要概念———导数的教学中，不从教材形式化的极限定义引入，而是从变化率入手，考虑高台跳水的例子，用形象直观的逼近方法定义导数。类似以上导数的定义，我们可以在高等数学中相关的定义教学中采用“形象与抽象相结合”的原则，尽可能将抽象的定义、定理及其推导变得简单、直观，让学生对相关内容产生“想得到”、“看得见”、“摸得着”的体会，而不是“没感觉”。在形象直观理解的基础上，最后总结归纳出抽象、理论的叙述。
（二）实践
２：隐函数偏导数的联想类比教学设计在由方程（组）确定的隐函数偏导数教学中，从旧知识入手，总结归纳一元函数隐函数的导数求解方法，再联想类比二元函数隐函数的偏导数求解，进一步过渡到由方程组确定的多元函数隐函数的偏导数求解。类似隐函数偏导数教学，高等数学中有不少内容都适合遵循“联想与类比相结合的原则”进行知识点之间的联想和类比，比如积分学中一元函数定积分、二元函数重积分及两类线面积分之间也可进行联想与类比教学设计。这类教学设计可以引导学生从眼前“这棵大树”着眼，逐渐认识到“大树旁边的同类树木”，使眼光不再狭隘，也使学习不再是对一个个孤立的知识点进行讨论。
（三）实践
３：多元函数方向导数的点面结合教学设计在引导学生学习“方向导数”这部分内容时，可设计如下一系列问题：一元函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处的导数ｆ′（ｘ０）刻画了什么？多元函数的偏导数和一元函数的导数有什么区别和联系？函数ｆ（ｘ，ｙ）对ｘ偏导数的几何意义是什么？ｆ（ｘ，ｙ）对ｘ偏导数大于０与函数单调性之间是什么关系？ｆ（ｘ，ｙ）在Ｏ点沿ｘ轴正向的方向导数是什么？方向导数和偏导数有什么区别和联系？在指定点处，函数的方向导数是否都存在？如果存在，它们中有没有最大值？如果有，它意味着什么？方向导数的最大值在什么方向取得？函数在一点处最大的方向导数应该如何求出？什么是梯度？方向导数和梯度的关系如何？这样形成了“导数→偏导数→方向导数→梯度”由点到面的知识串。如果说形象与抽象结合的原则可以对一个点认识更深刻，联想与类比可以让成串的知识串联起来，那么点线面结合的原则则可以让这些位于点、线、面的知识相互有机结合起来，使知识不再孤立、不再静态，而是生动的、成串的、系统的。
四、结论
问题驱动式教学模式避免了传统注入式教学模式的不足，重点强调学生主动发现和主动参与，在问题链驱动下，体验数学问题从观察、猜测、尝试、分析到抽象概括的过程，去理解一个数学问题是在什么样的背景下提出来的，一个数学概念是如何逐步形成的，一个数学结论又是通过怎样的探索后归纳整理的，使学生在积极的思考和热烈的讨论中猎取知识，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力和创新能力。但问题驱动式教学模式对教师是一个较大的挑战，不再是原来的知识传授者，在对课程进行设计及问题提出后，教师角色转变成了引导者、参与者和总结评价者。只有融会贯通地理解和运用其内在规律，设计灵活多样的课堂，扮演恰如其分的角色，学生才能积极主动地参与，教学效果才能达到最优化。
作者：袁勇 单位：成都理工大学管理科学学院
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