1穿越点交会
1．1穿越点的确定从理论上讲，在运行时间确定后，空间的2点间总能找到一条轨道，所以，如果将2个交会点视为空间2点的话，在确定了飞行时间之后，就可以找到一条连接它们的交会轨道。如图1所示，在t0时刻目标卫星1和目标卫星2分别位于r1和r2，假设这时追踪卫星也位于r1，即追踪卫星已与目标卫星1交会。首先，对目标卫星2在当前时刻进行某个步长［1］的递推，得到目标卫星2一个步长之后的位置矢量r2'，目标卫星2从r2运行到r2'所需要的时间为Δt'，Δt'作为递推的累积步长，相当于递推n次Δt'就等于n·步长。然后，预估追踪卫星从r1飞行到r2'的时间为Δt，由开普勒方程可得空间轨道上2点间的运行时间为Δt=1n［(E2－E1)+e(sinE1－sinE2)］［2］。对于高度相差不大的目标卫星轨道，认为交会轨道为近圆轨道，即e是一个很小值，E2－E1可近似等于f2－f1即Δf，而n=(μ/a3)12，故认为Δt约等于Δf·(a3/μ)12。其中夹角Δf=arctanr1×r2r1·r2，a可由(r1+r2)2近似代替。将Δt与目标卫星2的飞行时间Δt'作比较，令tb=Δt－Δt'。引入一个极小的判断阈值εb，假如tb＞εb，说明追踪卫星与目标卫星距离过大，不满足交会要求，则在当前时刻推进一个步长，直至tb＜εb，这时递推t0，以下一时刻r1作为追踪卫星的初始位置;若在当前时刻tb始终大于εb，说明在当前时刻无法找到交会点，同样递推t0至下一时刻。按此方法遍历目标卫星1的一个轨道周期内所有点作为t0点。满足设计条件的r2'即为预测交会点r3，这时的r1以及r3则为穿越点，这样除了得到穿越点的矢量位置外，也近似得到了穿越点r1至r3的飞行时间Δt。1．2数学描述航天器在初始时刻t0和终端时刻tf时的状态分别为“r0，v0”和“rf，vf”，为方便描述(忽略摄动影响)，分别采用下标“m”和“t”来表示追踪航天器和目标航天器，则追踪航天器在初始时刻和终端时刻的状态满足式中rt10和rt2f分别表示目标卫星1和目标卫星2在t0与tf时刻的位置。在实际应用过程中，如果交会点的选取不合理，就会导致交会轨道穿过地球表面等问题，追踪航天器应满足的约束有:在交会过程中设计出轨道的近地点不小于大气层高度hmin。数学形式为:其中Ｒe为地球半径。对于时间最优交会问题，搜索交会时间最优过程为:求取在满足轨道设计条件下的开始时间t0和结束时间tf，取得时间间隔Δt，再变动t0(变动时间取目标卫星1轨道周期长度)，最后从序列中求出全局最优解，使得Δt最小。
2基于穿越点的多目标交会轨道的设计
遍历时间内确定了每一时刻对应的穿越点r1和r3的地心距(由于约束某些时刻不存在穿越点)以及飞经2点的时间Δt之后，交会轨道的设计转化为固定时间轨道交会问题，因此只需要求得过任一穿越点时刻的速度vi(i=1，2)，便可确定交会轨道。根据ΔE计算出新的Y，带入式(5)迭代计算Y，直到Y收敛。在具体的计算实现过程中，Y收敛的条件是ΔY＜ε，ε一般取10－6［5］。将求得的Y和ΔE代入式(7)可求得近似半通径和半长轴，用符号^p和^a表示。
3仿真及结果分析
下面针对2个不同轨道倾角和轨道高度的近地轨道目标卫星设计交会轨道，目标卫星的轨道参数如表1所示。由于不同时刻进行交会，所用时间存在差别，因此，本文在设计交会轨道时，对交会时刻进行了寻优，使追踪卫星与2个目标卫星交会时间最短。图3给出了交会时刻与时间消耗的关系。仿真时长取目标卫星1的轨道周期5944s。仿真的轨道历元时刻设为2013－1－112:00:00，参考坐标系为地心惯性坐标系。图3中x轴表示追踪卫星与目标卫星1的交会时刻，y轴表示追踪卫星与目标卫星1和目标卫星2交会的时间差。从图中可以看出，以交会时间最短为优化指标得到的最佳交会时刻为2831s，即2013－1－112:47:10，这也是追踪卫星与目标卫星1交会的时刻，耗时91．991s后与目标卫星2交会，即2013－1－112:48:41。在此条件下求得的追踪卫星轨道参数如表2所示。通过STK软件对上述设计结果进行仿真，得到的实际交会时刻和交会距离如表3所示。可以看出，追踪卫星按照上述交会轨道与目标卫星1和目标卫星2的最近交会距离分别为0．015583km和0．117623km，可认为满足了交会任务。
4结束语
利用数学方法对非共面2个目标卫星的交会轨道进行了分析，提出了一种基于穿越点的快速交会轨道设计方法，设计了时间最短的异轨多目标之间的交会轨道。通过算例表明，基于穿越点的交会轨道可以较好的解决Walker星座等轨道相差不大的非共面多卫星的快速交会问题，在实际工程任务中具有一定的应用价值。
作者：李远飞 张雅声 单位：装备学院研究生管理大队 装备学院航天装备系
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